Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ e $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 20 x^{3} + 24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ e $0$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Etapa 5.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$- 5 u^{2} + 12 u - 2 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 5.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.4

Substitua os valores $a = - 5$ , $b = 12$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

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Etapa 5.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5.1.2.2

Multiplique $20$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5.1.3

Subtraia $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5.1.4

Reescreva $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.4.1

Fatore $4$ de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Etapa 5.5.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $20$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.6.1.3

Subtraia $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $4$ de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Etapa 5.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$

Etapa 5.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 5.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.7.1.2.2

Multiplique $20$ por $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.7.1.3

Subtraia $40$ de $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.7.1.4

Reescreva $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.4.1

Fatore $4$ de $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Etapa 5.7.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Etapa 5.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Etapa 5.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}, \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Etapa 5.9

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 2.2198039$

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Etapa 5.10

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 2.2198039$

Etapa 5.11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.11.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2.2198039}$

Etapa 5.11.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.11.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2.2198039}$

Etapa 5.11.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2.2198039}$

Etapa 5.11.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}$

Etapa 5.12

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Etapa 5.13

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.13.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 0.18019609$

Etapa 5.13.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0.18019609}$

Etapa 5.13.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.13.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{0.18019609}$

Etapa 5.13.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{0.18019609}$

Etapa 5.13.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Etapa 5.14

A solução para $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ é $x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$ .

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2.2198039}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Reescreva ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{2.2198039}^{3}} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Etapa 9.2

Eleve $2.2198039$ à potência de $3$ .

$- 20 \sqrt{10.93814891} + 24 \sqrt{2.2198039}$

Etapa 10

$x = \sqrt{2.2198039}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2.2198039}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2.2198039}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2.2198039}$ na expressão.

$f (\sqrt{2.2198039}) = - {(\sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $2.2198039$ à potência de $5$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{{2.2198039}^{3}} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $2.2198039$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $- \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2.2198039}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Etapa 13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2.2198039}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Etapa 13.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Etapa 13.3

Reescreva ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Etapa 13.4

Eleve $2.2198039$ à potência de $3$ .

$- 20 (- \sqrt{10.93814891}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Etapa 13.5

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$20 \sqrt{10.93814891} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Etapa 13.6

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$20 \sqrt{10.93814891} - 24 \sqrt{2.2198039}$

Etapa 14

$x = - \sqrt{2.2198039}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2.2198039}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2.2198039}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2.2198039}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - {(- \sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{5}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.2.3

Some $5$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.6

Eleve $2.2198039$ à potência de $5$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.7

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.9

Reescreva ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ como $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.10

Eleve $2.2198039$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{10.93814891}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Etapa 15.2.1.12

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $\sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{0.18019609}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Etapa 17

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Reescreva ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{0.18019609}^{3}} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Etapa 17.2

Eleve $0.18019609$ à potência de $3$ .

$- 20 \sqrt{0.00585108} + 24 \sqrt{0.18019609}$

Etapa 18

$x = \sqrt{0.18019609}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{0.18019609}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{0.18019609}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{0.18019609}$ na expressão.

$f (\sqrt{0.18019609}) = - {(\sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $0.18019609$ à potência de $5$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 19.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{{0.18019609}^{3}} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $0.18019609$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 19.2.2

A resposta final é $- \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{0.18019609}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Etapa 21

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{0.18019609}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Etapa 21.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Etapa 21.3

Reescreva ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Etapa 21.4

Eleve $0.18019609$ à potência de $3$ .

$- 20 (- \sqrt{0.00585108}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Etapa 21.5

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$20 \sqrt{0.00585108} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Etapa 21.6

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$20 \sqrt{0.00585108} - 24 \sqrt{0.18019609}$

Etapa 22

$x = - \sqrt{0.18019609}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{0.18019609}$ é um máximo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{0.18019609}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{0.18019609}$ na expressão.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - {(- \sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{5}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.2.3

Some $5$ e $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.4

Multiplique ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.6

Eleve $0.18019609$ à potência de $5$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.7

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.9

Reescreva ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ como $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.10

Eleve $0.18019609$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{0.00585108}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Etapa 23.2.1.12

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 23.2.2

A resposta final é $\sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Etapa 24

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ .

$(\sqrt{2.2198039}, - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ é um máximo local

$(- \sqrt{2.2198039}, \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ é um mínimo local

$(\sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ é um mínimo local

$(- \sqrt{0.18019609}, \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ é um máximo local

Etapa 25