Cálculo Exemplos

$h (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$h'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$h'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x^{2} - 6$ e $0$ .

$h'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 6 x + 1$ .

$4 x^{3} - 6 x + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.30083956, 0.16993844, 1.13090112$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1.30083956, 0.16993844, 1.13090112$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1.30083956$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 1.30083956)}^{2} - 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 1.30083956$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 1.69218357 - 6$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $1.69218357$ .

$20.30620291 - 6$

Etapa 9.2

Subtraia $6$ de $20.30620291$ .

$14.30620291$

Etapa 10

$x = - 1.30083956$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1.30083956$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1.30083956$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.30083956$ na expressão.

$h (- 1.30083956) = {(- 1.30083956)}^{4} - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$h (- 1.30083956) = {(- 1.30083956)}^{4} - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Eleve $- 1.30083956$ à potência de $4$ .

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 3 {(- 1.30083956)}^{2} - 1.30083956$

Etapa 11.2.2.2

Eleve $- 1.30083956$ à potência de $2$ .

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 3 \cdot 1.69218357 - 1.30083956$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $- 3$ por $1.69218357$ .

$h (- 1.30083956) = 2.86348525 - 5.07655072 - 1.30083956$

Etapa 11.2.3

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 11.2.3.1

Subtraia $5.07655072$ de $2.86348525$ .

$h (- 1.30083956) = - 2.21306547 - 1.30083956$

Etapa 11.2.3.2

Subtraia $1.30083956$ de $- 2.21306547$ .

$h (- 1.30083956) = - 3.51390503$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- 3.51390503$ .

$y = - 3.51390503$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0.16993844$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0.16993844)}^{2} - 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Eleve $0.16993844$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 0.02887907 - 6$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $0.02887907$ .

$0.34654889 - 6$

Etapa 13.2

Subtraia $6$ de $0.34654889$ .

$- 5.6534511$

Etapa 14

$x = 0.16993844$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.16993844$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 0.16993844$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $0.16993844$ na expressão.

$h (0.16993844) = {(0.16993844)}^{4} - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Remova os parênteses.

$h (0.16993844) = {(0.16993844)}^{4} - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Eleve $0.16993844$ à potência de $4$ .

$h (0.16993844) = 0.000834 - 3 {(0.16993844)}^{2} + 0.16993844$

Etapa 15.2.2.2

Eleve $0.16993844$ à potência de $2$ .

$h (0.16993844) = 0.000834 - 3 \cdot 0.02887907 + 0.16993844$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $- 3$ por $0.02887907$ .

$h (0.16993844) = 0.000834 - 0.08663722 + 0.16993844$

Etapa 15.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Subtraia $0.08663722$ de $0.000834$ .

$h (0.16993844) = - 0.08580322 + 0.16993844$

Etapa 15.2.3.2

Some $- 0.08580322$ e $0.16993844$ .

$h (0.16993844) = 0.08413522$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $0.08413522$ .

$y = 0.08413522$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 1.13090112$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(1.13090112)}^{2} - 6$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.1

Eleve $1.13090112$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 1.27893734 - 6$

Etapa 17.1.2

Multiplique $12$ por $1.27893734$ .

$15.34724819 - 6$

Etapa 17.2

Subtraia $6$ de $15.34724819$ .

$9.34724819$

Etapa 18

$x = 1.13090112$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1.13090112$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 1.13090112$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $1.13090112$ na expressão.

$h (1.13090112) = {(1.13090112)}^{4} - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Remova os parênteses.

$h (1.13090112) = {(1.13090112)}^{4} - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

Etapa 19.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Eleve $1.13090112$ à potência de $4$ .

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3 {(1.13090112)}^{2} + 1.13090112$

Etapa 19.2.2.2

Eleve $1.13090112$ à potência de $2$ .

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3 \cdot 1.27893734 + 1.13090112$

Etapa 19.2.2.3

Multiplique $- 3$ por $1.27893734$ .

$h (1.13090112) = 1.63568074 - 3.83681204 + 1.13090112$

Etapa 19.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.1

Subtraia $3.83681204$ de $1.63568074$ .

$h (1.13090112) = - 2.2011313 + 1.13090112$

Etapa 19.2.3.2

Some $- 2.2011313$ e $1.13090112$ .

$h (1.13090112) = - 1.07023018$

Etapa 19.2.4

A resposta final é $- 1.07023018$ .

$y = - 1.07023018$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $h (x) = x^{4} - 3 x^{2} + x$ .

$(- 1.30083956, - 3.51390503)$ é um mínimo local

$(0.16993844, 0.08413522)$ é um máximo local

$(1.13090112, - 1.07023018)$ é um mínimo local

Etapa 21