Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x + 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 9

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$