Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

Etapa 2.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Simplifique ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Etapa 2.5.4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

Etapa 2.5.4.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{1}{27}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{1}{27}$ por $x$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.5

Eleve $27$ à potência de $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $\frac{1}{729}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.7

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.8

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.9

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.9.1

Reescreva $729$ como $9^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.10

Multiplique $2 (- \frac{1}{27})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

Etapa 4.1.2.1.10.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

Etapa 4.1.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $\frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

Etapa 4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - 2}{27}$

Etapa 4.1.2.5

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{27}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

Etapa 4.2.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

Etapa 4.2.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$0 + 2 (0)$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

Etapa 5