Cálculo Exemplos

$\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{2}{15}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{15} x^{6}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $6$ e $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.5

Combine $\frac{12}{15}$ e $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Fatore $3$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $\frac{4}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{5}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.3

Combine $5$ e $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.5

Combine $\frac{20}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.6

Cancele o fator comum de $20$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

Fatore $5$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.6.2.4

Divida $4 x^{4}$ por $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique $3$ por $- 32$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{4}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $4 x^{2}$ de $- 20 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) - 96 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $4 x^{2}$ de $- 96 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x - 24) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Fatore $x^{2} - 5 x - 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 8, 3$

Etapa 3.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x^{2} ((x - 8) (x + 3)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 3.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 8, - 3$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $\frac{2}{15}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 8 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $8$ em $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot {(8)}^{6} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $6$ .

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $\frac{2}{15} \cdot 262144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Combine $\frac{2}{15}$ e $262144$ .

$f (8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $262144$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $8$ à potência de $5$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 1 \cdot 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $32768$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(8)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 \cdot 4096$

Etapa 4.3.2.1.6

Multiplique $- 8$ por $4096$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

Etapa 4.3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Escreva $- 32768$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

Etapa 4.3.2.2.4

Escreva $- 32768$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

Etapa 4.3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Etapa 4.3.2.2.6

Multiplique $\frac{- 32768}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

Etapa 4.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $- 32768$ por $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

Etapa 4.3.2.4.2

Multiplique $- 32768$ por $15$ .

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Subtraia $491520$ de $524288$ .

$f (8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

Etapa 4.3.2.5.2

Subtraia $491520$ de $32768$ .

$f (8) = \frac{- 458752}{15}$

Etapa 4.3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (8) = - \frac{458752}{15}$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é $- \frac{458752}{15}$ .

$- \frac{458752}{15}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $8$ em $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ é $(8, - \frac{458752}{15})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(8, - \frac{458752}{15})$

Etapa 4.5

Substitua $- 3$ em $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot {(- 3)}^{6} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $6$ .

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2.2

Fatore $3$ de $729$ .

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- 3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.3

Combine $\frac{2}{5}$ e $243$ .

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $2$ por $243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.5

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.7

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

Etapa 4.5.2.1.8

Multiplique $- 8$ por $81$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

Etapa 4.5.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Escreva $243$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

Etapa 4.5.2.2.2

Multiplique $\frac{243}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

Etapa 4.5.2.2.3

Multiplique $\frac{243}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

Etapa 4.5.2.2.4

Escreva $- 648$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

Etapa 4.5.2.2.5

Multiplique $\frac{- 648}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 4.5.2.2.6

Multiplique $\frac{- 648}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

Etapa 4.5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

Etapa 4.5.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.4.1

Multiplique $243$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

Etapa 4.5.2.4.2

Multiplique $- 648$ por $5$ .

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

Etapa 4.5.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.5.1

Some $486$ e $1215$ .

$f (- 3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

Etapa 4.5.2.5.2

Subtraia $3240$ de $1701$ .

$f (- 3) = \frac{- 1539}{5}$

Etapa 4.5.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 3) = - \frac{1539}{5}$

Etapa 4.5.2.6

A resposta final é $- \frac{1539}{5}$ .

$- \frac{1539}{5}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- 3$ em $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ é $(- 3, - \frac{1539}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 3, - \frac{1539}{5})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (8, - \frac{458752}{15}), (- 3, - \frac{1539}{5})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.1$ na expressão.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{4} - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 3.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 3.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 \cdot - 29.791 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $- 3.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $- 96$ por $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $369.4084$ e $595.82$ .

$f'' (- 3.1) = 965.2284 - 922.56$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $922.56$ de $965.2284$ .

$f'' (- 3.1) = 42.6684$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $42.6684$ .

$42.6684$

Etapa 6.3

Em $- 3.1$ , a segunda derivada é $42.6684$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.6.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.11.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.2

Fatore $4$ de $- 20$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 5) (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.3

Fatore $4$ de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.4

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.11.5

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 5 (\frac{- 27}{2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.12

Combine $- 5$ e $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 5 \cdot - 27}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.13

Multiplique $- 5$ por $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Etapa 7.2.1.14

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.14.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Etapa 7.2.1.14.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 7.2.1.16

Multiplique $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Etapa 7.2.1.17

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

Etapa 7.2.1.18

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

Etapa 7.2.1.19

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.19.1

Fatore $4$ de $- 96$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

Etapa 7.2.1.19.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

Etapa 7.2.1.19.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

Etapa 7.2.1.20

Multiplique $- 24$ por $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

Etapa 7.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $\frac{135}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $\frac{135}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

Etapa 7.2.2.3

Escreva $- 216$ como uma fração com denominador $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

Etapa 7.2.2.4

Multiplique $\frac{- 216}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.2.5

Multiplique $\frac{- 216}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $135$ por $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $- 216$ por $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

Etapa 7.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Some $81$ e $270$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

Etapa 7.2.5.2

Subtraia $864$ de $351$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

Etapa 7.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $- \frac{513}{4}$ .

$- \frac{513}{4}$

Etapa 7.3

Em $- \frac{3}{2}$ , a segunda derivada é $- 128.25$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 3, 0)$ .

Decréscimo em $(- 3, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 8)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (4) = 4^{1 + 4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Etapa 8.2.1.1.2

Some $1$ e $4$ .

$f'' (4) = 4^{5} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = 1024 - 20 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $64$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 {(4)}^{2}$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

Etapa 8.2.1.6

Multiplique $- 96$ por $16$ .

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 1536$

Etapa 8.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $1280$ de $1024$ .

$f'' (4) = - 256 - 1536$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $1536$ de $- 256$ .

$f'' (4) = - 1792$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 1792$ .

$- 1792$

Etapa 8.3

Em $4$ , a segunda derivada é $- 1792$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 8)$ .

Decréscimo em $(0, 8)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(8, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $8.1$ na expressão.

$f'' (8.1) = 4 {(8.1)}^{4} - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $8.1$ à potência de $4$ .

$f'' (8.1) = 4 \cdot 4304.6721 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $4$ por $4304.6721$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.3

Eleve $8.1$ à potência de $3$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 \cdot 531.441 - 96 {(8.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $531.441$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(8.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.5

Eleve $8.1$ à potência de $2$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

Etapa 9.2.1.6

Multiplique $- 96$ por $65.61$ .

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

Etapa 9.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Subtraia $10628.82$ de $17218.6884$ .

$f'' (8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $6298.56$ de $6589.8684$ .

$f'' (8.1) = 291.3084$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $291.3084$ .

$291.3084$

Etapa 9.3

Em $8.1$ , a segunda derivada é $291.3084$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(8, \infty)$ .

Acréscimo em $(8, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$ .

$(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$

Etapa 11