Cálculo Exemplos

$\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{5}}}]$ como $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $x^{5}$ como ${(x^{2})}^{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{x^{4} x}}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x}}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} \sqrt{x}}]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

Etapa 3.5.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}]$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + x^{\frac{5}{2}}}$ como ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + x^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + x^{\frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 5.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 5.3.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 5.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 5.3.5.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 10.3

Mova ${(x + x^{\frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x^{\frac{5}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Etapa 14

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 15

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Etapa 17.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 18

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$ .

$(1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 19.2

Multiplique $1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1 + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 19.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 19.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 19.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 19.5

Multiplique $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.5.1

Multiplique $\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{2 (3 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 19.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{6 {(x + x^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$