Cálculo Exemplos

$\frac{x}{2 x - 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{2 x - 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{2 x - 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{2 x - 1} d x$

Etapa 4

Divida $x$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$
					+	$\frac{1}{2}$

Etapa 4.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u = 2 x - 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 8.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 8.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 8.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 8.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x}{2 x - 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$