Cálculo Exemplos

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Etapa 4

Expanda ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.5

Reordene $\sin (x)$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.7

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.8

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Etapa 4.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Etapa 4.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 4.12

Some $1$ e $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Etapa 4.13

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Etapa 8

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Etapa 9

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 11

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 12

Aplique a regra da constante.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 13

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 14

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 14.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 14.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 14.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 14.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 14.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 15

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 16

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 17

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 18

Simplifique.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 19

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 20.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 20.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 20.4

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Etapa 20.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 20.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 21

Reordene os termos.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 22

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$