Cálculo Exemplos

$1 + 3 y^{3} = x^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (1 + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 3 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$0 + 9 y^{2} y'$

Etapa 2.3

Some $0$ e $9 y^{2} y'$ .

$9 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$9 y^{2} y' = 2 x$

Etapa 5

Divida cada termo em $9 y^{2} y' = 2 x$ por $9 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $9 y^{2} y' = 2 x$ por $9 y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{2 x}{9 y^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{2 x}{9 y^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{9 y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{9 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{9 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{9 y^{2}}$