Cálculo Exemplos

$\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.1.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $48$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $3$ de $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $3$ de $48$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.2.5

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $144$ de $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 36$ e $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $24$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 6.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $48$ .

$f'' (0) = 48$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 4, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(- 4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8