Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{12} \sqrt{36 - {(x - 6)}^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x - 6$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x - 6$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

Etapa 1.3

Subtraia $6$ de $0$ .

$u_{lower} = - 6$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x - 6$ .

$u_{upper} = 12 - 6$

Etapa 1.5

Subtraia $6$ de $12$ .

$u_{upper} = 6$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{36 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 6 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ é positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $6 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.3

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $36$ de $36$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $36$ de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $36$ de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Reescreva $36 \cos^{2} (t)$ como ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 3.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Como $36$ é constante com relação a $t$ , mova $36$ para fora da integral.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $36$ .

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7.2.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 10.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 10.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 10.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 10.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Etapa 10.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 11

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 13

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Etapa 15

Substitua e simplifique.

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Etapa 15.1

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Etapa 15.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $π$ e em $- π$ .

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 15.3

Simplifique.

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Etapa 15.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 15.3.2

Some $π$ e $π$ .

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 15.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.3.1

Cancele o fator comum.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 15.3.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Etapa 16.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Etapa 16.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Etapa 16.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Etapa 16.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Etapa 16.1.6

Some $0$ e $0$ .

$18 (π + \frac{0}{2})$

Etapa 16.2

Divida $0$ por $2$ .

$18 (π + 0)$

Etapa 17

Some $π$ e $0$ .

$18 π$

Etapa 18

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$18 π$

Forma decimal:

$56.54866776 \dots$

Etapa 19