Cálculo Exemplos

$\int 4 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Etapa 3

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$4 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Etapa 6

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $4$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

Etapa 7.2

Reescreva ${\tan (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

Etapa 8

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

Etapa 9

Simplifique.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Some $- x$ e $x$ .

$4 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Etapa 12.2

Some $C + \tan (x) + C$ e $0$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Etapa 13

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Etapa 14

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

Etapa 15

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

Etapa 15.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

Etapa 16

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

Etapa 17

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 17.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 17.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 17.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 17.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

Etapa 18

Divida a integral única em várias integrais.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

Etapa 19

Aplique a regra da constante.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

Etapa 20

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 21

Simplifique.

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Etapa 21.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Etapa 21.2

Simplifique.

$4 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Etapa 22

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$4 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Etapa 23

Some $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$4 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Etapa 24

Reordene os termos.

$4 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$