Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{- 3 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{- 3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.6.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \cos (5 x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Some $1 - 5 \sin (5 x)$ e $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{1}$

Etapa 2.4

Divida $1 - 5 \sin (5 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} 1 - 5 \sin (5 x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 3} (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Etapa 3.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

Etapa 3.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (0))$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \cdot 0)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 + 0)$

Etapa 5.3

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$