Cálculo Exemplos

$y^{3} = x^{3} + 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 3.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Etapa 5

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $3 y^{2} y' = 3 x^{2}$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$