Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (a x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $a$ por $1$ .

$\cos (a x) a$

Etapa 1.2.3.2

Reordene os fatores de $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a \cos (a x)$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 2.3

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.4

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.5

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Etapa 2.9.2

Reordene os fatores de $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a^{2} \sin (a x)$ em relação a $x$ é $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 3.3

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6

Some $1$ e $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Etapa 3.8

Multiplique $\cos (a x)$ por $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- a^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a^{3} \cos (a x)$ em relação a $x$ é $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = a x$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 4.3.2

Multiplique $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Etapa 4.3.3

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.4

Multiplique $a^{3}$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1

Mova $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.4.2

Multiplique $a$ por $a^{3}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.4.3

Some $1$ e $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Etapa 4.6

Multiplique $\sin (a x)$ por $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$