Cálculo Exemplos

$\int \sin^{3} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin^{3} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{\sin^{3} (u_{1})}{2}$ e $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Fatore $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (u_{1})$ como $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int (- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 7

Multiplique $(- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva $- 1 {u_{2}}^{2}$ como $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 8.2

Multiplique ${u_{2}}^{2}$ por ${u_{2}}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Etapa 8.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int - {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{4}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

Etapa 13.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C)$

Etapa 13.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1}) + \frac{1}{5} \cos^{5} (u_{1})) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (2 x)) + C$