Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{x^{2} + 2 x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 2 x} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 2 x}$

Etapa 4.1.1.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Etapa 4.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{1}{x (x + 2)}$

Etapa 4.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 2)$ .

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.1.2

Divida $A (x + 2)$ por $1$ .

$1 = A (x + 2) + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 4.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + 2 A + \frac{B (x (x + 2))}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x)$

$1 = A x + 2 A + B x$

Etapa 4.1.7

Mova $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Resolva $A$ em $1 = 2 A$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 4.3.1.2

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1.2.1

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Etapa 4.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Etapa 4.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.3

Resolva $B$ em $0 = \frac{1}{2} + B$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} + B = 0$ .

$\frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.3.2

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Etapa 4.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Etapa 4.5.4

Multiplique $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 2}$

Etapa 4.5.5

Mova $2$ para a esquerda de $x + 2$ .

$\int \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Etapa 10

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 10.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$