Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Etapa 2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x + 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Etapa 3.3

Some $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 4$ .

$u_{upper} = t + 4$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $u^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

Etapa 6.2

Mova $u^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $- \frac{1}{3 u^{3}}$ em $t + 4$ e em $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Avalie o limite.

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Etapa 8.1.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

Etapa 8.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Etapa 8.1.3

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Etapa 8.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Etapa 8.3

Avalie o limite.

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Etapa 8.3.1

Avalie o limite de $\frac{1}{192}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

Etapa 8.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

Etapa 8.3.2.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

Etapa 8.3.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

Etapa 8.3.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{192}$

Forma decimal:

$0.026041\overline{6}$