Cálculo Exemplos

$0 = - 2 y^{2} + x^{2} + x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{2} + x)$

Etapa 2

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 y^{2} + x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 y y' + 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 y y' + 2 x + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$0 = - 4 y y' + 2 x + 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$ .

$- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 4 y y' + 1 = - 2 x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 4 y y' = - 2 x - 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 4 y y' = - 2 x - 1$ por $- 4 y$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 4 y y' = - 2 x - 1$ por $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $- 4$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4 y$ .

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Etapa 5.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$