Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2.2.2

Remova os parênteses.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ por $x^{2} + 1$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ por $x^{2} + 1$ .

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

Etapa 1.2.3.3.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

Etapa 1.2.4.1.2

Combine os termos opostos em $x^{4} + x^{2} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{4} + 0 = 4$

Etapa 1.2.4.1.2.2

Some $x^{4}$ e $0$ .

$x^{4} = 4$

Etapa 1.2.4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique $\pm \sqrt[4]{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Etapa 1.2.4.3.2

Reescreva $\sqrt[4]{2^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.2.4.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $\sqrt{2}$ por $x$ .

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2

Substitua $\sqrt{2}$ por $x$ em $y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{3}{2 + 1}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{3}{3}$

Etapa 1.3.2.2.2

Divida $3$ por $3$ .

$y = 1$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

Etapa 3.3

Para escrever $- x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Combine $- x^{2}$ e $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Etapa 3.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Etapa 3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Etapa 3.5.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

Etapa 3.5.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Etapa 3.6

Combine em uma fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.7.2

Some $- x^{4}$ e $0$ .

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.7.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.7.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.7.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.7.6

Reordene $- {(x^{2})}^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.7.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x^{2}$ .

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Reordene $x^{2}$ e $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.11.2

Reordene $x^{2}$ e $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.11.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.11.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.12

Fatore o negativo.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.14

Some $2$ e $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.15

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.16

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Subtraia $x^{4}$ de $0$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.16.2

Reordene $4$ e $- x^{4}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.17

Divida $- x^{4} + 4$ por $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.17.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 3.17.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 3.17.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Etapa 3.17.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{4} + 0 - x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Etapa 3.17.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Etapa 3.17.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 3.17.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 3.17.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Etapa 3.17.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + 1$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Etapa 3.17.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

Etapa 3.17.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.18

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.19

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.20

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.21

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.22

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.23

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 3.24

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.24.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.24.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 3.25

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Etapa 3.26

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.26.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.26.1.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $\sqrt{2}$ e em $- \sqrt{2}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Etapa 3.26.1.2

Avalie $x$ em $\sqrt{2}$ e em $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Etapa 3.26.1.3

Avalie $\arctan (x)$ em $\sqrt{2}$ e em $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.26.1.4.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.4

Aplique a regra do produto a $- (\sqrt{2})$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.10

Multiplique $\frac{\sqrt{8}}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.12

Some $\sqrt{8}$ e $\sqrt{8}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.13

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Etapa 3.26.1.4.14

Para escrever $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.1.4.15

Combine $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.1.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.1.4.17

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.2

Simplifique.

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Etapa 3.26.2.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 3.26.2.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3

Simplifique.

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Etapa 3.26.3.1

Avalie $\arctan (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3.3

Avalie $\arctan (\sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3.4

Some $0.95531661$ e $0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3.5

Multiplique $9$ por $1.91063323$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3.6

Some $- 4 \sqrt{2}$ e $17.19569912$ .

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3.7

Divida $11.53884487$ por $3$ .

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 3.26.3.8

Some $3.84628162$ e $2 \sqrt{2}$ .

$6.67470875$

Etapa 4