Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 3} \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{3 \sin (2 \cdot - 3 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{3 \sin (- 6 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.3.2

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{3 \sin (0)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + lim_{x \to - 3} x}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$\frac{0}{3 + lim_{x \to - 3} x}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.3.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (2 x + 6)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x + 6$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.4

Remova os parênteses.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.10

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.11

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Etapa 3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.13

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + 1}$

Etapa 3.15

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida $6 \cos (2 x + 6)$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} 6 \cos (2 x + 6)$

Etapa 4.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to - 3} \cos (2 x + 6)$

Etapa 4.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)$

Etapa 4.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 3$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + 6)$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 3$ por $x$ .

$6 \cos (2 \cdot - 3 + 6)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$6 \cos (- 6 + 6)$

Etapa 6.2

Some $- 6$ e $6$ .

$6 \cos (0)$

Etapa 6.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 6.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$