Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $y^{3} - 2 y^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Etapa 1.1.2

Fatore $y$ de $- 2 y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

Etapa 1.1.3

Fatore $y$ de $- y$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Etapa 1.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Etapa 1.1.5

Fatore $y$ de $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

Etapa 2

Divida $y^{2} - 2 y - 1$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{2} + 0$ .

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

Etapa 2.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Etapa 2.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Etapa 2.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

Etapa 2.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 y + 0$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

Etapa 2.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

Etapa 2.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ e $- 2 y]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Etapa 8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Etapa 8.2.2

Avalie $\ln (| y |)$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3

Simplifique.

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Etapa 8.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.4

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.5

Combine $- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.7.1

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.7.2

Subtraia $12$ de $9$ .

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.10

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.12

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.13

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.3.15.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.15.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.18

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.19

Some $- \frac{3}{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.2.3.20

Subtraia $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ de $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Etapa 8.4.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Etapa 8.4.3

Divida $3$ por $1$ .

$- \ln (3)$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \ln (3)$

Forma decimal:

$- 1.09861228 \dots$

Etapa 10