Cálculo Exemplos

$x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

Etapa 1

Escreva $x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ como uma função.

$f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x^{2} + 7$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x^{2} + 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 4.1.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{15} \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $u^{15}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{15}}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u^{15} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{15}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{16} u^{16}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{1}{16} u^{16} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} u^{16} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 16} u^{16} + C$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{1}{32} u^{16} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \cdot {(x^{2} + 7)}^{15}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{32} {(x^{2} + 7)}^{16} + C$