Cálculo Exemplos

$- 5 x^{2} + y^{2} - x^{3} = - x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- 5 x^{2} + y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{2} + y^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 10 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 10 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 10 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 10 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 10 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 10 x + 2 y y' - (3 x^{2})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 10 x + 2 y y' - 3 x^{2}$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} + 2 y y' - 10 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 x^{2} + 2 y y' - 10 x = - 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $3 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$2 y y' - 10 x = - 1 + 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $10 x$ aos dois lados da equação.

$2 y y' = - 1 + 3 x^{2} + 10 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 y y' = - 1 + 3 x^{2} + 10 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = - 1 + 3 x^{2} + 10 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $10 x$ .

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (5 x)}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (5 x)}{2 (y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (5 x)}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{5 x}{y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{5 x}{y}$