Cálculo Exemplos

$5 + 3 x y + 4 y^{3} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (5 + 3 x y + 4 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + 3 x y + 4 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$0 + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$0 + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + 3 (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 + 3 (x y' + y) + 4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 3 (x y' + y) + 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 + 3 (x y' + y) + 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + 3 (x y' + y) + 4 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$0 + 3 (x y' + y) + 12 y^{2} y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + 3 (x y') + 3 y + 12 y^{2} y'$

Etapa 2.4.2

Some $0$ e $3 x y' + 3 y$ .

$3 x y' + 3 y + 12 y^{2} y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$3 x y' + 12 y^{2} y' + 3 y$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x y' + 12 y^{2} y' + 3 y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$3 x y' + 12 y^{2} y' = - 3 y$

Etapa 5.2

Fatore $3 y'$ de $3 x y' + 12 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3 y'$ de $3 x y'$ .

$3 y' x + 12 y^{2} y' = - 3 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 y'$ de $12 y^{2} y'$ .

$3 y' x + 3 y' (4 y^{2}) = - 3 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 y'$ de $3 y' x + 3 y' (4 y^{2})$ .

$3 y' (x + 4 y^{2}) = - 3 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 y' (x + 4 y^{2}) = - 3 y$ por $3 (x + 4 y^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 y' (x + 4 y^{2}) = - 3 y$ por $3 (x + 4 y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x + 4 y^{2})}{3 (x + 4 y^{2})} = \frac{- 3 y}{3 (x + 4 y^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y' (x + 4 y^{2})}{3 (x + 4 y^{2})} = \frac{- 3 y}{3 (x + 4 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 4 y^{2})}{x + 4 y^{2}} = \frac{- 3 y}{3 (x + 4 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x + 4 y^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 4 y^{2})}{x + 4 y^{2}} = \frac{- 3 y}{3 (x + 4 y^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 y}{3 (x + 4 y^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $3$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{3 (- y)}{3 (x + 4 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (- y)}{3 (x + 4 y^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x + 4 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x + 4 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 4 y^{2}}$