Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - x \cos (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - x \cos (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Etapa 3.2.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Etapa 3.3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x + x \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$