Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.3.5

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - 0^{3}}$

Etapa 1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.7.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{\ln (1) - 0^{3}}$

Etapa 1.3.7.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0^{3}}$

Etapa 1.3.7.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.3.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{x} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Etapa 3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Etapa 3.5

Some $3 e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (1 - x) - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

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Etapa 3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.8

Combine $\frac{1}{1 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.7.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - (3 x^{2})}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2}}$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Combine os termos.

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Etapa 3.9.1.1

Para escrever $- 3 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}$

Etapa 3.9.1.2

Combine $- 3 x^{2}$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{- 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Etapa 3.9.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1 - 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Etapa 3.9.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}{- x + 1}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 3 e^{x} \frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ e $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1} e^{x}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ e $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3 e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} (- x + 1) e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 11

Mova o limite para o expoente.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Etapa 12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 13

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 14

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 15

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 16

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 17

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 18

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Etapa 19

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 19.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Etapa 19.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Etapa 19.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Etapa 19.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Etapa 20

Simplifique a resposta.

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Etapa 20.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 20.1.1

Some $0$ e $1$ .

$3 \frac{1 e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Etapa 20.1.2

Multiplique $e^{0}$ por $1$ .

$3 \frac{e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Etapa 20.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Etapa 20.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 20.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Etapa 20.2.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Etapa 20.2.3

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 20.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 20.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1}$

Etapa 20.2.6

Subtraia $1$ de $0$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Etapa 20.3

Divida $1$ por $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Etapa 20.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3$