Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.9

Combine $3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.12

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.13.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.16

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$