Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Etapa 1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Etapa 1.3.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Etapa 1.3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Etapa 1.3.6

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.7

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.8.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 1.3.8.1.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{e^{0} + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 1.3.8.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 1.3.8.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- 2 - 2 x} + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}]$ .

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Etapa 3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 - 2 x$ .

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Etapa 3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.7

Subtraia $2$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.7.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + 3 x^{2}}$

Etapa 3.9

Reordene os termos.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 10

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x}}$

Etapa 11

Mova o limite para o expoente.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x}}$

Etapa 12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Etapa 13

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Etapa 14

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Etapa 15

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Etapa 16.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Etapa 16.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 + 2}}$

Etapa 16.1.4

Some $- 2$ e $2$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{0}}$

Etapa 16.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 \cdot 1}$

Etapa 16.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2}$

Etapa 16.1.7

Subtraia $2$ de $3$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 16.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1$

Etapa 16.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$