Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{4 (x + b)}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o expoente $7$ de ${(x + b)}^{7}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o expoente $10$ de ${(x + b)}^{10}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie os limites substituindo $- b$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- b$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- b$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.9.1

Combine os termos opostos em ${(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}$ .

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Etapa 2.1.2.9.1.1

Some $- b$ e $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.9.1.2

Some $- b$ e $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.9.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.9.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.2.9.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- b$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- b + b}$

Etapa 2.1.3.3

Some $- b$ e $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b} = lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{10}$ e $g (x) = x + b$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.5

Fatore ${(x + b)}^{6}$ de $7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Fatore ${(x + b)}^{6}$ de $7 {(x + b)}^{6}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.5.2

Fatore ${(x + b)}^{6}$ de $10 {(x + b)}^{9}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} \cdot 10 {(x + b)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.5.3

Fatore ${(x + b)}^{6}$ de ${(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} (10 {(x + b)}^{3})$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + \frac{d}{d x} [b]}$

Etapa 2.3.8

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + 0}$

Etapa 2.3.9

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1}$

Etapa 2.4

Divida ${(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Etapa 3.2

Mova o expoente $6$ de ${(x + b)}^{6}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (lim_{x \to - b} 7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Etapa 3.7

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 lim_{x \to - b} {(x + b)}^{3})$

Etapa 3.8

Mova o expoente $3$ de ${(x + b)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Etapa 3.9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{3})$

Etapa 3.10

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $- b$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- b$ por $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- b$ por $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Some $- b$ e $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Etapa 5.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Etapa 5.4

Some $- b$ e $b$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0^{3})$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0)$

Etapa 5.5.2

Multiplique $10$ por $0$ .

$0 \cdot (7 + 0)$

Etapa 5.6

Some $7$ e $0$ .

$0 \cdot 7$

Etapa 5.7

Multiplique $0$ por $7$ .

$0$