Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{15 ({(h - 8)}^{2} - 64)}{h}$

Etapa 1

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(h - 8)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $64$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$15 \frac{{(0 - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$15 \frac{{(0 - 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$15 \frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$15 \frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$15 \frac{64 - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $64$ de $64$ .

$15 \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$15 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$15 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2

Reescreva ${(h - 8)}^{2}$ como $(h - 8) (h - 8)$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 8) (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3

Expanda $(h - 8) (h - 8)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 8) - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.4.1.1

Multiplique $h$ por $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.1.2

Mova $- 8$ para a esquerda de $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 \cdot h - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.1.3

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 h - 8 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $8 h$ de $- 8 h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 16 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $h^{2} - 16 h + 64 - 64$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [- 16 h]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Como $- 16$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 16 h$ em relação a $h$ é $- 16 \frac{d}{d h} [h]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8

Como $64$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $64$ em relação a $h$ é $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 64$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 64$ em relação a $h$ é $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.10

Combine os termos.

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Etapa 2.3.10.1

Some $2 h - 16$ e $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.10.2

Some $2 h - 16$ e $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{1}$

Etapa 2.4

Divida $2 h - 16$ por $1$ .

$15 lim_{h \to 0} 2 h - 16$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 (lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 16)$

Etapa 3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 16)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 16)$

Etapa 4

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$15 (2 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$15 (0 - 1 \cdot 16)$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$15 (0 - 16)$

Etapa 5.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$15 \cdot - 16$

Etapa 5.3

Multiplique $15$ por $- 16$ .

$- 240$