Cálculo Exemplos

$\int {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{4} + 4$ . Depois, $d u = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{4} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{4} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.5

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $u^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 4$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$