Cálculo Exemplos

$x^{2} - x^{3} = - 2 y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x - (3 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 x - 3 x^{2}$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 x^{2} + 2 x = - 4 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ .

$- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ por $- 4 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ por $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $- 4$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 (x)}{- 4 y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $- 4 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 (x)}{2 (- 2 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 x}{2 (- 2 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{x}{- 2 y}$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} - \frac{x}{2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{4 y} - \frac{x}{2 y}$