Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 5 \cos (4 x - 2) + 5 x d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5 \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Etapa 4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x - 2$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$5 \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int 5 x d x$

Etapa 6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$5 \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int 5 x d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u) + \int 5 x d x$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{4}$ e $5$ .

$\frac{5}{4} \int \cos (u) d u + \int 5 x d x$

Etapa 9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + \int 5 x d x$

Etapa 10

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 \int x d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique.

$\frac{5}{4} \sin (u) + 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 12.2

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} \sin (u) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - 2$ .

$\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$