Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{\frac{1}{x^{2}}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ movendo $\frac{1}{x^{2}}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Etapa 3.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Etapa 3.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Etapa 3.5

Combine os fatores.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

Etapa 3.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

Etapa 3.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

Etapa 3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

Etapa 3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$e^{0}$

Etapa 6.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1$