Cálculo Exemplos

$3 x^{3} - 5 - 2 y^{3} = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 5 - 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 5 - 2 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.4.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$9 x^{2} + 0 - 6 y^{2} y'$

Etapa 2.5

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2} - 6 y^{2} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$9 x^{2} - 6 y^{2} y' = x y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $x y'$ dos dois lados da equação.

$9 x^{2} - 6 y^{2} y' - x y' = y$

Etapa 5.2

Subtraia $9 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 6 y^{2} y' - x y' = y - 9 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- 6 y^{2} y' - x y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- 6 y^{2} y'$ .

$y' (- 6 y^{2}) - x y' = y - 9 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- 6 y^{2}) + y' (- x) = y - 9 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (- 6 y^{2}) + y' (- x)$ .

$y' (- 6 y^{2} - x) = y - 9 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (- 6 y^{2} - x) = y - 9 x^{2}$ por $- 6 y^{2} - x$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (- 6 y^{2} - x) = y - 9 x^{2}$ por $- 6 y^{2} - x$ .

$\frac{y' (- 6 y^{2} - x)}{- 6 y^{2} - x} = \frac{y}{- 6 y^{2} - x} + \frac{- 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 6 y^{2} - x$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 6 y^{2} - x)}{- 6 y^{2} - x} = \frac{y}{- 6 y^{2} - x} + \frac{- 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{- 6 y^{2} - x} + \frac{- 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- 6 y^{2}$ .

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- (6 y^{2}) - x}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- (6 y^{2}) - (x)}$

Etapa 5.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (6 y^{2}) - (x)$ .

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- (6 y^{2} + x)}$

Etapa 5.4.3.5

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.4.3.5.1

Reescreva $- (6 y^{2} + x)$ como $- 1 (6 y^{2} + x)$ .

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- 1 (6 y^{2} + x)}$

Etapa 5.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y - 9 x^{2}}{6 y^{2} + x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 9 x^{2}}{6 y^{2} + x}$