Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Etapa 1.3

Subtraia $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $0.5$ .

$u_{upper} = 1 - 0.5$

Etapa 1.5.2

Subtraia $0.5$ de $1$ .

$u_{upper} = 0.5$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

Etapa 2

Multiplique $- (- u + 1) u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Etapa 3.2

Multiplique $u$ por $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Etapa 3.3

Multiplique $u$ por $u^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $u$ por $u^{3}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Etapa 3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Etapa 3.3.2

Some $1$ e $3$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Etapa 3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

Etapa 3.5

Reescreva $- 1 u^{3}$ como $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{1}{5} u^{5}$ em $0.5$ e em $1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Etapa 9.2

Avalie $\frac{u^{4}}{4}$ em $0.5$ e em $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Eleve $0.5$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $0.03125$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.6

Subtraia $1$ de $0.03125$ .

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.8

Eleve $0.5$ à potência de $4$ .

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 9.3.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

Etapa 9.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

Etapa 9.3.11

Subtraia $1$ de $0.0625$ .

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

Etapa 9.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

Etapa 9.3.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

Etapa 9.3.14

Multiplique $\frac{0.9375}{4}$ por $1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

Etapa 9.3.15

Para escrever $- \frac{0.96875}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

Etapa 9.3.16

Para escrever $\frac{0.9375}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 9.3.17

Escreva cada expressão com um denominador comum de $20$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.3.17.1

Multiplique $\frac{0.96875}{5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 9.3.17.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 9.3.17.3

Multiplique $\frac{0.9375}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Etapa 9.3.17.4

Multiplique $4$ por $5$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

Etapa 9.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Etapa 9.3.19

Multiplique $- 0.96875$ por $4$ .

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Etapa 9.3.20

Multiplique $0.9375$ por $5$ .

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

Etapa 9.3.21

Some $- 3.875$ e $4.6875$ .

$\frac{0.8125}{20}$

Etapa 10

Divida $0.8125$ por $20$ .

$0.040625$

Etapa 11