Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{\tan (2 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.8

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.10.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10.1.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10.1.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0 + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10.1.5

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 2 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10.1.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.2.10.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (2 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 1.1.3.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{\tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \cos (8 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 1.3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.7

Multiplique $8$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) \cdot 8) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.8

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.3.9

Multiplique $\cos (8 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (5 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.6

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cdot \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $5$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x))) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.6.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Etapa 1.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)$ e $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $- 16 x \sin (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $2 \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 (\cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 (\cos (8 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 1.4.4

Fatore $2$ de $10 \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 1.4.5

Fatore $2$ de $2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cos (5 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 1.4.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.6.1

Fatore $2$ de $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 (\sec^{2} (2 x))}$

Etapa 1.4.6.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 1.4.6.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 8 x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.3

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.6

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.8

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.9

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.11

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Etapa 2.12

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

Etapa 2.13

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 2.14

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0 + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{0 + \cos (0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 + 1 + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.7

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 1 + 5 \cos (0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 + 1 + 5 \cdot 1}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{0 + 1 + 5}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.10

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 5}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.11

Some $1$ e $5$ .

$\frac{6}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{6}{\sec^{2} (0)}$

Etapa 4.2.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{6}{1^{2}}$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6}{1}$

Etapa 4.3

Divida $6$ por $1$ .

$6$