Cálculo Exemplos

$y = \cos (x^{2}) \cdot \sin (x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x^{2})$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 3

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 4

Eleve $\cos (x^{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 6.1

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 7.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 8

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9

Eleve $\sin (x^{2})$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - (\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$

Etapa 13

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - 2 \sin^{2} (x^{2}) x$

Etapa 13.2

Reordene os termos.

$2 x \cos^{2} (x^{2}) - 2 x \sin^{2} (x^{2})$