Cálculo Exemplos

$e^{x y} = y - x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{x y}) = \frac{d}{d x} (y - x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y' - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' - 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = y' - 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = y' - 1$

Etapa 5.2

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} - y' = - 1$

Etapa 5.3

Subtraia $y e^{x y}$ dos dois lados da equação.

$x y' e^{x y} - y' = - 1 - y e^{x y}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $x y' e^{x y} - y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $x y' e^{x y}$ .

$y' (x e^{x y}) - y' = - 1 - y e^{x y}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (x e^{x y}) + y' \cdot - 1 = - 1 - y e^{x y}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (x e^{x y}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x e^{x y} - 1) = - 1 - y e^{x y}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (x e^{x y} - 1) = - 1 - y e^{x y}$ por $x e^{x y} - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (x e^{x y} - 1) = - 1 - y e^{x y}$ por $x e^{x y} - 1$ .

$\frac{y' (x e^{x y} - 1)}{x e^{x y} - 1} = \frac{- 1}{x e^{x y} - 1} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $x e^{x y} - 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x e^{x y} - 1)}{x e^{x y} - 1} = \frac{- 1}{x e^{x y} - 1} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{x e^{x y} - 1} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 1 - y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 5.5.3.3

Fatore $- 1$ de $- y e^{x y}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (y e^{x y})}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (y e^{x y})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + y e^{x y})}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 5.5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 + y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$