Cálculo Exemplos

$- x^{3} = 3 y - y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- x^{3}) = \frac{d}{d x} (3 y - y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2})$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y' - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y' - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y' - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y' - (2 y y')$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 y' - 2 y y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$- 2 y y' + 3 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 x^{2} = - 2 y y' + 3 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- 2 y y' + 3 y' = - 3 x^{2}$ .

$- 2 y y' + 3 y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $- 2 y y' + 3 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + 3 y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $3 y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 3 = - 3 x^{2}$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (- 2 y) + y' \cdot 3$ .

$y' (- 2 y + 3) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (- 2 y + 3) = - 3 x^{2}$ por $- 2 y + 3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (- 2 y + 3) = - 3 x^{2}$ por $- 2 y + 3$ .

$\frac{y' (- 2 y + 3)}{- 2 y + 3} = \frac{- 3 x^{2}}{- 2 y + 3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 y + 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 2 y + 3)}{- 2 y + 3} = \frac{- 3 x^{2}}{- 2 y + 3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 2 y + 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 2 y + 3}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (2 y) + 3}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (2 y) - 1 (- 3)}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 y) - 1 (- 3)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (2 y - 3)}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.5.1

Reescreva $- (2 y - 3)$ como $- 1 (2 y - 3)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (2 y - 3)}$

Etapa 5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{2 y - 3}$

Etapa 5.3.3.5.4

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{2 y - 3}$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y - 3}$