Cálculo Exemplos

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 + \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 + \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4.1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Etapa 4.1.4

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Etapa 7

Reescreva $- u^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

Etapa 9

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$