Cálculo Exemplos

$- y^{3} + 5 - y^{2} + y = 2 x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} + 5 - y^{2} + y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y^{3} + 5 - y^{2} + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + y'$

Etapa 2.6

Some $- 3 y^{2} y'$ e $0$ .

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Fatore $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Etapa 5.1.3

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Etapa 5.1.4

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Etapa 5.1.5

Fatore $y'$ de $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Etapa 5.1.6

Fatore $y'$ de $y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2

Fatore.

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Etapa 5.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 y$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$y' (- 3 y^{2} + (1 - 3) y + 1) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (- 3 y^{2} + 1 y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2.1.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$y' (- 3 y^{2} + y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y' ((- 3 y^{2} + y) - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y' (y (- 3 y + 1) + 1 (- 3 y + 1)) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 y + 1$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y + 1)) = 6 x^{2}$

Etapa 5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ por $(- 3 y + 1) (y + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ por $(- 3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3 y + 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y + 1)}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (3 y - 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.3.3.4.1

Reescreva $- (3 y - 1)$ como $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y + 1)}$

Etapa 5.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$