Cálculo Exemplos

$y = {(2 x + 3)}^{- 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 3$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \cdot 2$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 {(2 x + 3)}^{- 4}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Etapa 3.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{{(2 x + 3)}^{4}}$