Cálculo Exemplos

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Reorganize os termos.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Reescreva $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Fatore $2$ de $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $8$ .

$\int 16 \tan^{3} (t) \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $16$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.6.1

Mova $\sec^{2} (t)$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $\sec^{2} (t)$ por $\sec (t)$ .

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Etapa 2.2.6.2.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Etapa 2.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 32 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Etapa 2.2.6.3

Some $2$ e $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Etapa 3

Como $32$ é constante com relação a $t$ , mova $32$ para fora da integral.

$32 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Etapa 4

Fatore $\tan^{2} (t)$ .

$32 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Etapa 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$32 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Etapa 6

Deixe $u = \sec (t)$ . Depois, $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , então, $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = \sec (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Etapa 6.1.2

A derivada de $\sec (t)$ em relação a $t$ é $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$32 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 7

Multiplique $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$32 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$32 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 8.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$32 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 8.2.2

Some $2$ e $2$ .

$32 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$32 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$32 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique.

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Etapa 13.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Etapa 13.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Etapa 13.2

Simplifique.

$32 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (t)$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{2} x))) + C$