Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Etapa 3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Etapa 3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 3.1.3

Reescreva $\cos^{6} (t)$ como ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Etapa 3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $\cos (t)$ de $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ em $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 5

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$