Cálculo Exemplos

$x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Etapa 1

Escreva $x^{2} e^{x^{3} + 1}$ como uma função.

$f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x^{2} e^{x^{3} + 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x^{3} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 4.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$