Cálculo Exemplos

$y^{x y}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $y^{x y}$ como $e^{\ln (y^{x y})}$ .

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (y^{x y})$ movendo $x y$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y \ln (y)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Etapa 3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y \ln (y)$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 5

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 6.1

Combine $y$ e $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

Etapa 6.4

Multiplique $\ln (y)$ por $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Etapa 7.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$