Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Mova o expoente $2$ de ${(2 x)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 2 x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(2 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{{(2 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos^{2} (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos^{2} (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- 2 \sin (2 x)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.8

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 4 \cos (2 x) \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4.9

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [2^{2} x^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}$

Etapa 1.3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 (2 x)}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{8 x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $4$ de $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{8 x}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.7.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.7.3

Multiplique $\sin (2 \cdot 0)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.7.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.7.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.5

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.12.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.12.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.12.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.13

Eleve $\sin (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.14

Eleve $\sin (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.16

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.17

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.18

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.20

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{1}$

Etapa 3.4

Divida $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Etapa 4.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Etapa 4.3

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} (2 {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Etapa 4.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Etapa 4.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Etapa 4.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sin^{2} (2 x))$

Etapa 4.7

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sin (2 x))}^{2})$

Etapa 4.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Etapa 4.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 6.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1^{2} - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 6.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 6.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (0))$

Etapa 6.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0^{2})$

Etapa 6.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0)$

Etapa 6.1.8

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (2 + 0)$

Etapa 6.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$1$