Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} (\frac{x}{2} - \frac{2}{x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Etapa 9.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

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Etapa 9.1.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 9.1.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.6

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.7

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.3.9.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.9.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.10

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3.12

Para escrever $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 9.1.3.13

Combine $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Etapa 9.1.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Etapa 9.1.3.15

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{3 - 8 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Etapa 9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{4}$

Etapa 9.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{1})}{4}$

Etapa 9.3.3

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

Forma decimal:

$- 0.63629436 \dots$

Etapa 11